AMC10经典培训教材

基础知识

相似三角形(similar triangles)是指对应角相等且对应边成比例的三角形。相似三角形形状相同，但大小不一定相同。

“相似”的符号是 \( \sim \) 。记号 \( {\Delta ABC} \sim \Delta {A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime } \) 读作“三角形 \( {ABC} \) 相似于三角形 \( A \) -撇 \( B \) -撇 \( C \) -撇”。

证明两个三角形相似的常用方法是:找到其中一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等。

常见的相似三角形 \( \left( {{\Delta ABC} \sim {\Delta DEC}}\right) \)

定理1. 相似三角形的对应边(线段)彼此成比例。

若 \( \bigtriangleup {ABC} \sim \bigtriangleup {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \) ，则 \( \frac{a}{{a}_{1}} = \frac{b}{{b}_{1}} = \frac{c}{{c}_{1}} \) 。

若 \( \frac{a}{{a}_{1}} = \frac{b}{{b}_{1}} = \frac{c}{{c}_{1}} \) ，则 \( {\Delta ABC} \sim \Delta {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \) 。

定理2. 两个相似图形的周长之比为:

\[ \frac{{P}_{\Delta ABC}}{{P}_{\Delta {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}} = \frac{a}{{a}_{1}} = \frac{b}{{b}_{1}} = \frac{c}{{c}_{1}} \tag{12.1} \]

两个相似图形的面积之比为:

\[ \frac{{S}_{\Delta ABC}}{{S}_{\Delta {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}} = {\left( \frac{a}{{a}_{1}}\right) }^{2} = {\left( \frac{b}{{b}_{1}}\right) }^{2} = {\left( \frac{c}{{c}_{1}}\right) }^{2} \tag{12.2} \]

定理3. 一条平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似。

若 \( {DE}//{BC} \) ，则 \( \bigtriangleup {ABC} \sim \bigtriangleup {ADE} \)

\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = \frac{AG}{AF} \]

\[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\; \Rightarrow \;\frac{AD}{AE} = \frac{DB}{EC} \]

定理4. 若 \( \angle {ACB} = \angle {ADC} = {90}^{ \circ } \) ，则 \( \bigtriangleup {ABC} \sim \bigtriangleup {ACD} \sim \bigtriangleup {CBD} \) 。

定理5. 若 \( \angle {ACB} = \angle {ADC} = {90}^{ \circ } \) ，则

\[ A{C}^{2} = {AB} \times {AD} \tag{12.3} \]

\[ B{C}^{2} = {AB} \times {BD} \tag{12.4} \]

\[ C{D}^{2} = {AD} \times {BD} \tag{12.5} \]

\[ {CD} \times {AB} = {AC} \times {BC} \tag{12.6} \]

证明:

(1). 我们将两个相似三角形分离如下:

\[ \frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}\; \Rightarrow \;A{C}^{2} = {AB} \times {AD} \tag{1} \]

(2). 我们将两个相似三角形分离如下:

\[ \frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BD}\; \Rightarrow \;B{C}^{2} = {AB} \times {BD} \tag{2} \]

(3). 我们将两个相似三角形分离如下:

\[ \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}\; \Rightarrow \;C{D}^{2} = {AD} \times {BD} \tag{3} \]

(4). 三角形 \( \mathrm{{ABC}} \) 的面积为 \( {S}_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}{AC} \times {BC} \)

\( {S}_{\Delta ABC} \) 也可写作 \( {S}_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}{AB} \times {CD} \)

\[ \frac{1}{2}{AC} \times {BC} = \frac{1}{2}{AB} \times {CD} \Rightarrow {CD} \times {AB} = {AC} \times {BC} \]

定理6. 在 \( \bigtriangleup {ABC} \) 中，若 \( D \) 为 \( {AB}, E \) 的中点， \( {AC} \) 为 \( {DE}//{BC} \) 的中点，则 \( {DE} = \frac{1}{2}{BC} \) 且。

定理7. 已知 \( {AB}//{EF}//{CD}.{AB} = a,{CD} = b \) ，且 \( {EF} = c \) 。

则 \( \Rightarrow {EF} = c = \frac{ab}{a + b} \) 或 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \) (12.7)证明:

\( \bigtriangleup {ABC} \sim \bigtriangleup {EFC} \) .

\[ \frac{c}{a} = \frac{FC}{BC} \tag{1} \]

\[ \frac{c}{b} = \frac{BF}{BC} \tag{2} \]

(1)+(2): \( \frac{c}{a} + \frac{c}{b} = \frac{{FC} + {BF}}{BC} = 1\; \Rightarrow \;\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} \) .

定理8. 在三角形 \( {ABC} \) 中，若 \( \angle A = 2\angle B \) ，则 \( {a}^{2} = {b}^{2} + {bc} \) (12.8)

证明:

将 \( {CA} \) 延长至 \( D \) ，使得 \( {AD} = {AB} \) 。

由于 \( {AD} = {AB},\angle D = \angle {ABD} \) 。

由于 \( \angle A = \angle D + \angle {ABD} = 2\angle D \) ，且 \( \angle A = 2\angle {CBA},\angle D = \angle {CBA} \) 。

我们得出 \( \bigtriangleup {ABC} \sim \bigtriangleup {BDC}(\angle D = \angle {CBA} \) ，且 \( \angle C \) \( = \angle C) \) 。

我们得到以下方程:

\( \frac{CD}{CB} = \frac{BC}{AC}\; \Rightarrow \;\frac{b + c}{a} = \frac{a}{b}\; \Rightarrow {a}^{2} = {b}^{2} + {bc} \)

解题技巧

涉及一对相似三角形的问题

例1. 若 \( {AB}//{DE},{AB} = 5,{CE} = 8 \) ，且 \( {DE} = {13} \) ，求 \( \overline{BC} \) 的度数。(A) \( \frac{13}{40} \) (B) \( \frac{5}{3} \) (C) \( \frac{22}{7} \) (D) \( \frac{40}{13} \) (E) \( \frac{13}{41} \)

解答:(D)。

因为 \( {AB}//{DE},\angle A = \angle D \) 且 \( \angle B = \angle E.{\Delta ABC} \sim \) \( \bigtriangleup {DEC} \) 。

\( {AB} \) 与 \( {DE} \) 为对应边， \( {BC} \) 与 \( {CE} \) 为对应边。

由于相似三角形的对应边成比例，我们有:

\[ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{CE}\; \Rightarrow \;\frac{5}{13} = \frac{BC}{8} \Rightarrow \;{BC} = \frac{40}{13}. \]

例2. 在正方形 \( {ABCD},{AD} \) 中，边长为4厘米。 \( {CM} = \frac{1}{3}{CD} \) 求 \( {OC} \) 的长度？

(A) \( 4\sqrt{2} \) (B) \( 2\sqrt{2} \) (C) \( \sqrt{2} \) (D) 2 (E) \( \frac{1}{4} \)

解答:(C)。

\( {AC} = 4\sqrt{2} \) .

\( \bigtriangleup {AOB} \sim \bigtriangleup {COM}\left( {{AB}\parallel {MC}}\right) .\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CM}\; \Rightarrow \;\frac{OA}{OC} = \frac{CD}{CM} = 3\; \Rightarrow \)

\[ \frac{{AC} - {OC}}{OC} = 3\; \Rightarrow \;\frac{AC}{OC} - 1 = 3 \]

\[ \Rightarrow \;\frac{AC}{OC} = 4\; \Rightarrow \;{OC} = \frac{1}{4}{AC} = \frac{1}{4} \times 4\sqrt{2} = \sqrt{2}\text{.} \]

例3. 如图所示， \( {CD} \) 是直角三角形 \( {\Delta ABC} \) 的边 \( {AB} \) 上的高。若 \( {AC} = 5 \) 且 \( {BD} = 5\frac{1}{3} \) ，求 \( {BC} \) 的值。

(A) \( \frac{20}{3} \) (B) \( \frac{16}{3} \) (C) \( \frac{25}{3} \) (D) 9 (E) \( \frac{25}{4} \) 。

解答:(A)。

由(12.4)得: \( B{C}^{2} = {AB} \times {BD} = \frac{16}{3}{AB} \) 。

对三角形 \( {ABC} \) 应用勾股定理:

\( A{B}^{2} = A{C}^{2} + B{C}^{2} = {25} + \frac{16AB}{3}. \)

于是 \( {3A}{B}^{2} - {16AB} - {75} = 0 \Rightarrow \left( {{3AB} - {25}}\right) \left( {{AB} + 3}\right) = 0 \) 。

解得: \( {AB} = \frac{25}{3}.B{C}^{2} = \frac{16}{3}{AB} = \frac{16}{3} \times \frac{25}{3} \Rightarrow {BC} = \frac{20}{3} \) 。

例4. 正方形 \( {OPQR} \) 内接于三角形 \( {ABC} \) 。 \( \bigtriangleup {AOR} \) 、 \( \bigtriangleup {BOP},\bigtriangleup {CRQ} \) 的面积分别为1、3和1。求正方形 \( {OPQR} \) 的面积？ (A) 1 (B) 2 (C) 6 (D) 4 (E) 5

解答:(D)。

方法1:

作 \( {AD} \bot {BCAD} \) 与 \( {BC} \) 交于 \( D \) ，与 \( {OR} \) 交于 \( E \) 。令 \( {OP} \) 为 \( x \) 。

由于 \( {\mathrm{S}}_{\bigtriangleup {AOR}} = 1 = \frac{1}{2}x \times {AE},{AE} = \frac{2}{x} \) 。同样地，

\[ {QC} = \frac{2}{x},{BP} = \frac{6}{x}. \]

自从 \( {QR}//{BC},{\Delta AOR} \sim {\Delta ABC} \)

\( \frac{OR}{BC} = \frac{AE}{AD}\; \Rightarrow \frac{OR}{{BC} - {OR}} = \frac{AE}{{AD} - {AE}} \Rightarrow \frac{x}{\frac{8}{x}} = \frac{\frac{2}{x}}{x} \) \( \Rightarrow {x}^{4} = {16} \Rightarrow x = 2 \) 。面积为4。

方法二:

作 \( {AD} \bot {BC}.{AD} \) 与 \( {BC} \) 交于 \( D \) ，与 \( {OR} \) 交于 \( E \) 。令 \( {OP} \) 为 \( x \) 。

由于 \( {\mathrm{S}}_{\bigtriangleup {AOR}} = 1 = \frac{1}{2}x \times {AE},{AE} = \frac{2}{x} \) 。同样地， \( {QC} = \frac{2}{x} \) ，

\[ {BP} = \frac{6}{x}. \]

\[ {S}_{\bigtriangleup {ABC}} = \frac{1}{2}{BC} \times {AD} = \frac{1}{2}\left( {\frac{6}{x} + \frac{2}{x} + x}\right) \left( {\frac{2}{x} + x}\right) = \frac{1}{2}\left( {{x}^{2} + \frac{16}{{x}^{2}} + {10}}\right) \]

\[ {S}_{\Delta ABC} = {S}_{\Delta 4OR} + {S}_{\Delta BOP} + {S}_{\Delta CRQ} + {S}_{OPQR} = 1 + 3 + 1 + {x}^{2} \]

因此 \( \frac{1}{2}\left( {{x}^{2} + \frac{16}{{x}^{2}} + {10}}\right) = 1 + 3 + 1 + {x}^{2} \Rightarrow {x}^{4} = {16} \Rightarrow x = 2 \) 。面积为4。

例5. 以平方单位计，图示三角形内所能内接的最大矩形面积是多少？ \( {BC} = {100}\mathrm{\;{cm}}.{AH} = {80}\mathrm{\;{cm}} \) . (D) 2014 (E) 2015

答案:(A)。

设矩形的长为 \( x \) ，宽为 \( y \) 。

自从 \( {DG}//{BC},{\Delta ADG} \sim {\Delta ABC} \)

\[ \frac{DG}{BC} = \frac{AM}{AH} \Rightarrow \frac{x}{100} = \frac{{80} - y}{80} \Rightarrow {4x} = 5\left( {{80} - y}\right) \Rightarrow x = {100} - \frac{5}{4}y. \]

设矩形 \( {DEFG} \) 的面积为 \( S \) 。

\[ S = {xy} = \left( {{100} - \frac{5}{4}y}\right) = - \frac{5}{4}{y}^{2} + {100y} = - \frac{5}{4}\left( {{y}^{2} - {80y}}\right) = - \frac{5}{4}{\left( y - {40}\right) }^{2} + {2000}. \]

最大值为2000(当 \( x = {50} \) 且 \( y = {40} \) 时)。

例6. 在矩形 \( {ABCD},{AB} = {50}\sqrt{6} \) 中。设 \( E \) 为 \( {AD} \) 的中点。若直线 \( {AC} \) 与 \( {BE} \) 垂直，则小于 \( {AD} \) 的最大整数是多少？

(A) 173 (B) 127 (C) 176 (D) 174 (E) 175

解答:(A)。

如图所示，我们得到 \( \alpha + \beta = {90}^{ \circ } \) 和 \( \alpha + \gamma = {90}^{ \circ } \) 。因此 \( \beta = \gamma \) 。 \( \bigtriangleup {BAE} \sim \bigtriangleup {CBA} \) 。

\( \frac{AB}{BC} = \frac{AE}{AB}\; \Rightarrow \;\frac{{50}\sqrt{6}}{2AE} = \frac{AE}{{50}\sqrt{6}} \)

\( \Rightarrow \;\sqrt{2}{AE} = {50}\sqrt{6} \)

\( \Rightarrow \;\sqrt{2} \times \sqrt{2}{AE} = {50}\sqrt{6} \times \sqrt{2}\; \Rightarrow \) \( {2AE} = {AD} = {100}\sqrt{3} \) .

由于 \( {173} < {100}\sqrt{3} < {174} \) ，答案为173。

例7. (2010 AMC 10) 图中显示28个格点，每个点与其最近邻点的距离为1单位。线段 \( {AB} \) 与线段 \( {CD} \) 相交于 \( E \) 。求线段 \( {AE} \) 的长度。

(A) \( \frac{4\sqrt{5}}{3} \) (B) \( \frac{5\sqrt{5}}{3} \) (C) \( \frac{{12}\sqrt{5}}{7} \) (D) \( 2\sqrt{5} \)

(E) \( \frac{5\sqrt{65}}{9} \)

解答:(B)。

方法1(官方解答):

将 \( {DC} \) 延长至 \( F \) 。三角形 \( {FAE} \) 与 \( {DBE} \) 相似，相似比为 \( 5 : 4 \) 。因此 \( {AE} = 5 \) \( \times {AB}/9,{AB} = \sqrt{{3}^{2} + {6}^{2}} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \) ，且 \( {AE} = 5\left( {3\sqrt{5}}\right) /9 = 5\sqrt{5}/3 \)

方法2(我们的解答):

按图所示连接 \( {FD} \) 和 \( {CG} \) 。三角形 \( {FDE} \) 与 \( {GCE} \) 相似，相似比为2:

1。因此 \( {AF} = {FG} = \sqrt{{1}^{2} + {2}^{2}} = \sqrt{5} \) 。于是

\( {FE} = \frac{2}{3}\sqrt{5} \cdot {AE} = {AF} + {FE} = \sqrt{5} + \frac{2}{3}\sqrt{5} \)

\( = \frac{5\sqrt{5}}{3} \) .

涉及两对相似三角形的问题

例8. (AMC) 图中， \( {ABCD} \) 为四边形，在 \( A \) 和 \( C \) 处为直角。点 \( E \) 和 \( F \) 分别位于 \( \overline{AC} \) 和 \( \overline{DE} \) 上，且 \( \overline{BF} \) 为

垂直于 \( \overline{AC} \) 。若 \( {AE} = 3,{DE} = 5 \) 且 \( {CE} = 7 \) ，则 \( {BF} = \) (A) 3.6 (B) 4 (C) 4.2 (D) 4.5(E) 5解答:(C)。(与官方解答不同的解法)我们在右侧图中标记角度。

\( {\Delta DEA} \sim {\Delta ABF} : \frac{BF}{AE} = \frac{AF}{DE}\; \Rightarrow \;\frac{x}{3} = \frac{{10} - m}{5} \) (1)

\( {\Delta CFB} \sim {\Delta DEC} : \frac{CF}{DE} = \frac{BF}{CE}\; \Rightarrow \;\frac{m}{5} = \frac{x}{7} \) (2)

(1) 变为 \( \frac{x}{3} = 2 - \frac{m}{5} \) (3)

将(2)代入(3)，我们得到

\[ \frac{x}{3} = 2 - \frac{x}{7} \Rightarrow \frac{x}{3} + \frac{x}{7} = 2 \Rightarrow \frac{10x}{21} = 2 \Rightarrow x = \frac{42}{10} = {4.2}. \]

例9.(2003 AMC 10 A 第22题)在矩形 \( {ABCD} \) 中，我们有 \( {AB} = 8 \) ， \( {BC} = 9, H \) 在 \( {BC} \) 上且 \( {BH} = 6,\mathrm{E} \) 在 \( {AD} \) 上且 \( {DE} = \) 4，直线 \( {EC} \) 与直线 \( {AH} \) 交于 \( G \) ，且 \( F \) 在直线 \( {AD} \) 上

且 \( {GF} \bot {AF} \) 。 \( {GF} \) 的长度是多少？

(A) 16 (B) 20 (C) 24 (D) 28 (E) 30

解答:(B)。

方法1(官方解答):

我们有 \( {EA} = 5 \) 和 \( {CH} = 3 \) 。三角形 \( {GCH} \) 与 \( {GEA} \)

相似，因此 \( {GC}/{GE} = 3/5 \) 且 \( {CE}/{GE} = \left( {{GE} - {GC}}\right) /{GE} = 1 - 3/5 = 2/5 \) 。

三角形 \( {GFE} \) 与 \( {CDE} \) 相似，因此 \( {GF}/8 = {CE}/{GE} = 5/2 \) 且 \( {FG} = {20} \) 。

方法2(我们的解法):

我们知道 \( {CH} = {BC} - {BH} = 9 - 6 = 3 \) 。

\( {AE} = {AD} - {DE} = 9 - 5 = 5 \) .

三角形 \( {ABH} \) 是一个 \( 6 - 8 - {10} \) 直角三角形。因此 \( {AH} = {10} \) 。

三角形 \( {GCH} \) 与 \( {GEA} \) 相似，因此 \( \frac{{GH} + {10}}{GH} = \frac{5}{3} \Rightarrow {GH} = {15} \) 。

三角形 \( {ABH} \) 与 \( {GFA} \) 相似，因此 \( \frac{AH}{{GH} + {HA}} = \frac{AB}{FG} \Rightarrow \frac{10}{{15} + {10}} = \frac{8}{x} \Rightarrow \)

\( x = {20} \) .

例10.(2003 AMC 10B第20题)。在矩形 \( {ABCD},{AB} = 5 \) 与 \( {BC} = \) 3中，点 \( F \) 和 \( G \) 位于 \( {CD} \) 上，使得 \( {DF} = 1 \) 且 \( {GC} = 2 \) 。

直线 \( {AF} \) 与 \( {BG} \) 相交于 \( E \) 。求

\( \bigtriangleup {AEB}? \)

(A) 10 (B) \( {21}/2 \) (C) 12 (D) 25/2 (E) 15

解答:(D)。

方法一(官方解答):

设 \( H \) 为从 \( E \) 到 \( {DC} \) 的垂足。由于 \( {CD} = {AB} = 5 \) 、 \( {FG} = 2 \) ，且 \( \bigtriangleup {FEG} \) 与 \( \bigtriangleup {AEB} \) 相似，我们有

\( \frac{EH}{{EH} + 3} = \frac{2}{5} \) ，因此 \( {5EH} = {2EH} + 6 \) ，且 \( {EH} = 2 \) 。故

\[ \text{Area}\left( {\bigtriangleup {AEB}}\right) = \frac{1}{2}\left( {2 + 3}\right) \cdot 5 = \frac{25}{2}\text{.} \]

方法二(官方解答):

设 \( I \) 为从 \( E \) 到 \( {AB} \) 的垂足。由于 \( {\Delta EIA} \) 与 \( \bigtriangleup {ADF} \) 相似，且 \( \bigtriangleup {EIB} \) 与 \( \bigtriangleup {BCG} \) 相似，我们有 \( {AI}/{EI} = \) \( 1/3 \) 和 \( \left( {5 - {AI}}\right) /{EI} = 2/3 \) 。

相加得 \( 5/{EI} = 1 \) ，因此 \( {EI} = 5 \) 。该三角形面积为 \( \left( {1/2}\right) \cdot 5 \cdot 5 = {25}/2 \) 。

方法三(我们的解法):

连接 \( {AG} \) 。三角形 \( {ABG} \) 的面积为矩形 \( {ABCD} \) 面积的一半。

由于 \( \bigtriangleup {ABE} \) 与 \( \bigtriangleup {FGE} \) 相似，因此 \( \frac{AB}{FG} = \frac{BE}{EG} \Rightarrow \)

\[ \frac{5}{2} = \frac{\sqrt{13} + {EG}}{EG} \Rightarrow {EG} = \frac{2\sqrt{13}}{3}. \]

\[ \frac{{S}_{\Delta ABE}}{{S}_{\Delta ABG}} = \frac{BE}{BG} \]

\[ \Rightarrow {S}_{\bigtriangleup {ABE}} = \frac{BE}{BG}{S}_{\bigtriangleup {ABG}} = \frac{\frac{2}{3}\sqrt{13} + \sqrt{13}}{\sqrt{13}} \times \frac{15}{2} = \frac{5}{3} \times \frac{15}{2} = \frac{25}{2}\text{.} \]

例11. 如下图所示， \( {ABCD} \) 为正方形。 \( A, E, F \) 、 \( G \) 在同一直线上。若 \( {AE} = 5\mathrm{\;{cm}} \) 且 \( {EF} = 3 \) cm，求 \( {FG} \) 。

(A) \( \frac{16}{3} \) (B) \( \frac{25}{3} \) (C) \( \frac{5}{3} \) (D)5(E) \( \frac{11}{2} \)

解答:(A)。

我们知道 \( {AB}//{CD} \) 。因此， \( \frac{AE}{EF} = \frac{BE}{ED} \) (1)

我们还知道 \( {CB}//{AD} \) 。因此， \( \frac{BE}{ED} = \frac{EG}{AE} \) (2)

由(1)和(2)可得 \( \frac{AE}{EF} = \frac{EG}{AE} \Rightarrow {EG} = \frac{A{E}^{2}}{EF} = \frac{25}{3} \) 。

\( \therefore {FG} = {EG} - {EF} = \frac{16}{3} \) .

例12.(1998 AIME)设 \( {ABCD} \) 为一平行四边形。将 \( {DA} \) 经 \( A \) 延长至点 \( P \) ，并令 \( {PC} \) 与 \( {AB} \) 交于 \( Q \) ，与 \( {DB} \) 交于 \( R \) 。已知 \( {PQ} = {735} \) 且 \( {QR} \) \( = {112} \) ，求 \( {RC} \) 。

解答:308。

方法1(官方解答):

三角形 \( {RBC} \) 与 \( {RDP} \) 的相似性

意味着

\[ \frac{RC}{RP} = \frac{RB}{RD}. \]

三角形 \( {RBQ} \) 与 \( {RDC} \) 的相似性

意味着 \( \frac{RB}{RD} = \frac{RQ}{RC} \) 。

于是 \( \frac{RC}{RP} = \frac{RQ}{RC} \) ，即 \( R{C}^{2} = {RQ} \times {RP} = {112} \times {847} = {16} \times 7 \times 7 \times {121} \) 。因此

\( {RC} = 4 \times 7 \times {11} = {308}. \)

方法2:(我们的解法)。

\[ {\Delta DRC} \sim {\Delta BRQ} \Rightarrow \frac{QR}{RC} = \frac{QB}{DC} \Rightarrow \frac{112}{RC} = \frac{{DC} - {AQ}}{DC} = 1 - \frac{AQ}{DC} \tag{1} \]

\[ {\Delta APQ} \sim {\Delta DPC} \Rightarrow \;\frac{AQ}{DC} = \frac{PQ}{PC}\; \Rightarrow \;\frac{AQ}{DC} = \frac{735}{{735} + {112} + {RC}} \tag{2} \]

将(2)代入(1):

\( \frac{112}{RC} = 1 - \frac{735}{{735} + {112} + {RC}} \)

\[ \Rightarrow \;{RC} = {308}\text{.} \]

方法3(我们的解法):

\[ R{C}^{2} = {RQ} \times {RP} = {112} \times \left( {{735} + {112}}\right) \]

\[ {RC} = \sqrt{{112} \times \left( {{735} + {112}}\right) } = {308}. \]

需作辅助线的问题

例13.(2004 AMC 10B 第20题)在 \( \bigtriangleup {ABC} \) 中，点 \( D \) 和 \( E \) 分别位于 \( {BC} \) 和 \( {AC} \) 上。设 \( {AD} \) 与 \( {BE} \) 交于 \( \mathrm{T} \) ，使得 \( {AT}/{DT} = 3 \) 且 \( {BT}/{ET} = 4 \) 。求 \( {CD}/{BD} \) 的值。

(A) \( \frac{1}{8} \) (B) \( \frac{2}{9} \) (C) \( \frac{3}{10} \) (D) \( \frac{4}{11} \) (E) \( \frac{5}{12} \)

解答:(D)。

方法一(官方解答):

在 \( {AC} \) 上取点 \( F \) ，使得 \( {DF} \) 平行于 \( {BE} \) 。设 \( {BT} = {4x} \) 且 \( {ET} = x \) 。

因为 \( \bigtriangleup {ATE} \) 与 \( \bigtriangleup {ADF} \) 相似，所以

\( \frac{DF}{x} = \frac{AD}{AT} = \frac{4}{3} \) 与 \( {DF} = \frac{4x}{3}. \)

又 \( \bigtriangleup {BEC} \) 与 \( \bigtriangleup {DFC} \) 相似，故

\[ \frac{CD}{BC} = \frac{DF}{BE} = \frac{{4x}/3}{5x} = \frac{4}{15}. \]

于是 \( \frac{CD}{BC} = \frac{{CD}/{BC}}{1 - {CD}/{BC}} = \frac{4/{15}}{1 - 4/{15}} = \frac{4}{11} \) 。

方法二(我们的解法):

在 \( {BC} \) 上取点 \( F \) ，使得 \( {EF} \) 平行于 \( {AD} \) 。设 \( {BT} = {4x} \) 且 \( {ET} = x \) 。设 \( {AT} = {3y} \) 且 \( {TD} = y \) 。

因为 \( {\Delta EFB} \) 与 \( \bigtriangleup {TDB} \) 相似，所以 \( \frac{EF}{TD} = \frac{BE}{BT} \) \( \Rightarrow \frac{EF}{y} = \frac{5x}{4x} \Rightarrow {EF} = \frac{5}{4}y \) 。

又有 \( \frac{BD}{DC} = \frac{4}{1} \) 。设 \( {BD} = {4a} \) 且 \( {DC} = a \) 。

因为 \( {\Delta ADC} \) 与 \( {\Delta EFC} \) 相似，所以 \( \frac{AD}{EF} = \frac{DC}{CF} \Rightarrow \frac{4y}{\frac{5}{4}y} = \frac{{DF} + {CF}}{CF} \)

\( \Rightarrow \frac{16}{5} = \frac{DF}{CF} + 1\; \Rightarrow \frac{11}{5} = \frac{a}{CF} \Rightarrow {CF} = \frac{5}{11}a \) .

\( \frac{CD}{BD} = \frac{a + \frac{5}{11}a}{4a} = \frac{\frac{16}{11}}{4} = \frac{4}{11}. \)

例14. 在直角 \( \bigtriangleup {ABC},{AD} \) 中， \( P \) 为高， \( {AD} \) 为 \( {BP} \) 的中点。连接 \( {AC} \) 并延长交 \( E \) 于 \( {AC} : {AB} = k \) 。若 \( {AE}/{EC} \) ，求的值。

(A) \( \frac{1}{1 + {k}^{2}} \) (B) \( \frac{1}{1 + k} \) (C) \( \frac{2}{1 + {k}^{2}} \) (D) \( 1 + k \) (E) \( \frac{2}{1 + k} \)

解答:(A)。

作 \( {AF}//{BC} \) ， \( {AF} \) 交 \( {BE} \) 的延长线于 \( F \) 。 \( {\Delta AFE} \) 与 \( {\Delta CBE} \) 相似，故 \( \frac{AE}{EC} = \frac{AF}{BC} \) 。已知 \( {AP} = {PD} \) ，因此 \( {AF} = {BD} \) ，于是 \( \frac{AE}{EC} = \frac{BD}{BC} \) 。

由(12.3)与(12.4)得 \( \frac{BD}{DC} = \frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}} = \frac{1}{{k}^{2}} \) 。

于是 \( \frac{BD}{BC} = \frac{BD}{{BD} + {DC}} = \frac{1}{1 + {k}^{2}} \) 。

因此 \( \frac{AE}{EC} = \frac{1}{1 + {k}^{2}} \) 。

例15. 在三角形中， \( {ABC},{BM} \) 为 \( {AC}.{AE} \) 上的中线， \( {AF} \) 三等分 \( {BC} \) 并分别交 \( {BM} \) 于 \( G \) 与 \( H \) 。 \( {BG} : {GH} : {HM} = x : y : z \) 。求 \( x \) \( + y + z \) 的值，其中 \( x, y \) 与 \( z \) 为互质的正整数。

解答:(A)。

方法一:

连接 \( {FM} \) 。由于 \( M \) 为 \( {AC} \) 的中点， \( F \) 为 \( {EC} \) 的中点，故 \( {FM}//{AE} \) 。

\( {MF} = \frac{1}{2}{AE} = \frac{1}{2}\left( {{GE} + {AG}}\right) = {2GE} \) 。于是 \( {AG} = {3GE} \) 且

\( {MF} = \frac{2}{3}{AG}. \)

已知 \( {AG}//{MF} \) 。于是 \( \bigtriangleup {AGH} \sim \bigtriangleup {FMH}.\frac{AG}{MF} = \frac{GH}{HM} = \frac{3}{2} \) 。

又已知 \( {BG} = {GM} \) 。于是 \( {BG} : {GH} : {HM} = 5 : 3 : 2 \) 。答案为 \( 5 + 3 + \) \( 2 = {10} \) 。

方法二:

过点 \( C \) 作 \( {CP}//{AF} \) 与 \( {CQ}//{AE} \) ，分别交 \( {BM} \) 的延长线于 \( P \) 与 \( Q \) 。可见 \( \bigtriangleup {AGM} \equiv \bigtriangleup {CQM}(\angle {GAM} = \angle {QCM},{AM} = {MC},\angle {AMG} \) \( = \angle {CMQ}) \) 。于是 \( {GM} = {MQ} \) 。同理得 \( {HM} = {MP} \) 。设 \( {BG} = x,{GH} = y,{HM} = z \) 。

已知 \( {GE}//{CQ} \) 。于是 \( \bigtriangleup {BEG} \sim \bigtriangleup {BCQ}.\frac{BG}{BQ} = \frac{BE}{BC} = \frac{1}{3} \) 。

因此 \( x = y + z \) (1)

我们知道 \( {HF}//{PC} \) 。因此 \( \bigtriangleup {BFH} \sim \bigtriangleup {BCP}.\frac{BH}{BP} = \frac{BF}{BC} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{x + y}{{2x} + z} = \frac{2}{3} \) 。

因此 \( {3y} = {2z} + x \) (2)

将(1)代入(2):得 \( \frac{y}{z} = \frac{2}{3} \) 。因此 \( x : y : z = 5 : 3 : 2 \) 。答案为 \( 5 + 3 + 2 = \) 10。

方法3:

将 \( {BM} \) 延长至 \( N \) ，使得 \( {MN} = {BM} \) 。连接 \( {AN},{CN}.{ABCN} \) ，由于对角线互相平分，故为平行四边形。因此 \( {AF}//{BC}.{AN} = \) \( {BC} = {3BE} \) 。

我们知道 \( {AN}//{BC} \) 。因此 \( \bigtriangleup {BEG} \sim \bigtriangleup {NAG} \) 。

\( \frac{NG}{BG} = \frac{AN}{BE} = 3 \) 。因此 \( {NG} = {3BG} \) 。

\( {BN} = {BG} + {GN} = {4BG} \) .

\( {BG} = {BN}/4 \) .

我们知道 \( {AN}//{BC} \) 。因此 \( \bigtriangleup {ANH} \sim \bigtriangleup {FBH} \) 。

\( \frac{NH}{BH} = \frac{AN}{BF} = \frac{3}{2} \) 。因此 \( {NH} = {3BH}/2 \) 。

\( {BN} = {BH} + {HN} = {5BH}/2 \) .

因此 \( {BH} = {2BN}/5 \) 。

于是

\( {GH} = {BH} - {BG} = \frac{2}{5}{BN} - \frac{1}{4}{BN} = \frac{3}{20}{BN} \) .

\( {HM} = {BM} - {BH} = \frac{1}{2}{BN} - \frac{2}{5}{BN} = \frac{1}{10}{BN}. \)

\( {BG} : {GH} : {HM} = \frac{1}{4} : \frac{3}{20} : \frac{1}{10} = 5 : 3 : 2 \)

答案为 \( 5 + 3 + 2 = {10} \) 。

方法4:

我们知道 \( {MN}//{BF} \) 。因此 \( {\Delta BFH} \sim {\Delta MNH} \) 。

\( \frac{HM}{BH} = \frac{NM}{BF} \) 。我们还知道

\( {MN} = \frac{1}{2}{FC} = \frac{1}{4}{BF} \cdot {AN} = {NF}. \)

因此 \( \frac{HM}{BH} = \frac{1}{4} \) (1)

因此 \( \frac{NH}{HF} = \frac{1}{4} \) 。

\( \frac{AH}{HF} = \frac{{AN} + {NH}}{{NF} - {NH}} = \frac{{FH} + {2NH}}{FH} = \frac{4 + 2}{4} = \frac{3}{2}. \)

我们知道 \( {PH}//{EF} \) 。所以 \( \bigtriangleup {AEF} \sim \bigtriangleup {APH}.\frac{PH}{EF} = \frac{AH}{AF} = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5} \) 。

我们知道 \( {PH}//{BE} \) 。所以 \( \bigtriangleup {PHG} \sim \bigtriangleup {EBG}.\frac{GH}{BG} = \frac{PH}{BE} = \frac{PH}{EF} = \frac{3}{5} \) (2)

所以 \( \frac{HB}{GH} = \frac{5 + 3}{3} = \frac{8}{3} \) (3)

由(1)和(3)得: \( \frac{HM}{GH} = \frac{2}{3} \) (4)

由(2)和(4)得: \( {BG} : {GH} : {HM} = \frac{1}{4} : \frac{3}{20} : \frac{1}{10} = 5 : 3 : 2 \)

答案是 \( 5 + 3 + 2 = {10} \) 。

例16.(2009 AIME)在平行四边形 \( {ABCD} \) 中，点 \( M \) 位于 \( {AB} \) 上，使得 \( \frac{AM}{AB} = \frac{17}{1000} \) ，点 \( N \) 位于 \( {AD} \) 上，使得 \( \frac{AN}{AD} = \frac{17}{2009} \) 。设 \( P \) 为 \( {AC} \) 与 \( {MN} \) 的交点。求 \( \frac{AC}{AP} \) 。

解答:177。

方法1(官方解答):

设点 \( S \) 在 \( {AC} \) 上，使得 \( {NS} \) 平行于 \( {AB} \) 。因为 \( {\Delta ASN} \) 与 \( \bigtriangleup {ACD},{AS}/{AC} = \left( {{AP} + {PS}}\right) /{AC} = {AN}/{AD} = {17}/{2009}. \) 相似

因为 \( \bigtriangleup {PSN} \) 与 \( \bigtriangleup {PAM},{PS}/{AP} = {SN}/{AM} = \frac{\frac{17}{2009}{CD}}{\frac{17}{1000}{AB}} = \frac{1000}{2009} \) 相似，所以 \( \frac{PS}{AP} + 1 = \frac{3009}{2009} \) 。因此 \( \frac{\frac{17}{2009}{AC}}{AP} = \frac{3009}{2009} \) ，且 \( \frac{AC}{AP} = {177} \) 。方法2(我们的解法):将 \( {NM} \) 经 \( M \) 延长至 \( E \) ，并与 \( {CB} \) 的延长线交于 \( E \) 。我们按图1所示标记线段。我们知道 \( {AD}//{CE} \) 。所以 \( {\Delta AMN} \sim {\Delta BME} \) (图1)。

\[ \frac{AN}{BE} = \frac{AM}{MB}\; \Rightarrow \;\frac{17y}{BE} = \frac{17x}{983x} \Rightarrow \]

\[ {BE} = {983y}\text{.} \]

我们知道 \( {AN}//{CE} \) 。所以 \( \bigtriangleup {APN} \sim \bigtriangleup {CPE} \) (图2)。 \( \frac{AN}{CE} = \frac{AP}{PC} \Rightarrow \)

\[ \frac{17y}{\left( {{2009} + {983}}\right) y} = \frac{AP}{{AC} - {AP}} \Rightarrow \;\frac{AC}{AP} - 1 = \frac{2992}{17}\; \Rightarrow \]

\[ \frac{AC}{AP} = \frac{2992}{17} + 1 = {177} \]

图1

图2

习题

问题1. 若 \( {AB} = {AC},{DB} = {CB},{AB} = {12} \) 且 \( {BC} = 5 \) ，求 \( \overline{DC} \) 的度数。

(A) \( \frac{25}{12} \) (B) \( 2\frac{1}{11} \) (C) \( \frac{15}{7} \) (D) 2 (E) \( \frac{12}{5} \)

问题2. 在正方形 \( {ABCD},{AD} \) 中，边长为4厘米，且 \( M \) 是 \( {CD} \) 的中点。求 \( {OC} \) 与 \( {OA} \) 的比值。

(A) \( \frac{1}{2} \) (B) \( \frac{1}{4} \) (C) \( \sqrt{2} \) (D) 1 (E) \( \frac{1}{4} \) 。

问题3. 一个三角形的三边长分别为8、15和17。最短的高是多少？

(A) \( {136}/{15} \) (B) 120/17 (C) 6 (D) 14 (E) 15

问题4. (2007年Mathcounts全国团队赛第8题)矩形 \( {ABCD} \) 内接于三角形 \( {EFG} \) ，使得矩形的边 \( {AD} \) 位于三角形的边 \( {EG} \) 上，如图所示。三角形在边 \( {EG} \) 上的高为7英寸，且 \( {EG} = {10} \) 英寸。线段 \( {AB} \) 的长度等于线段 \( {AD} \) 长度的一半。求矩形 \( {ABCD} \) 的面积，并以普通分数表示答案。

问题5. 正方形 \( {BCFE} \) 内接于直角三角形 \( {AGD} \) ，如下图所示。若

\( {AB} = {28} \) 单位， \( {CD} = {58} \) 单位，求正方形 \( {BCFE} \) 的面积。

(A) 784 (B) 3364 (C) 1642 (D) 1624 (E) 812

问题6. (2009年AMC 12 A第20题)凸四边形 \( {ABCD} \) 满足 \( {AB} = 9 \) 且 \( {CD} = {12} \) 。对角线 \( {AC} \) 与 \( {BD} \) 相交于 \( E,{AC} = {14} \) ，且 \( \bigtriangleup {AED} \) 与 \( \bigtriangleup {BEC} \) 面积相等。求 \( {AE} \) 。

问题7. (AMC)设 \( {ABCD} \) 为一平行四边形，满足 \( \angle {ABC} = {120}^{ \circ },{AB} = {16} \) 且 \( {BC} = {10} \) 。将 \( \overline{CD} \) 经 \( D \) 延长至 \( E \) ，使得 \( D\mathrm{E} = 4 \) 。若 \( \overline{BE} \) 与 \( \overline{AD} \) 交于 \( F \) ，则 \( {FD} \) 最接近

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

问题8. (2009年AMC 10第17题)矩形 \( {ABCD} \) 满足 \( {AB} = 4 \) 且 \( {BC} = 3 \) 。构造线段 \( {EF} \) 经过 \( B \) ，使得 \( {EF} \bot {DB} \) ，且 \( A \) 与 \( C \) 分别位于 \( {DE} \) 与 \( {DF} \) 上。求 \( {EF} \) 。

(A)9(B) \( {10}\left( \mathrm{C}\right) \) 125/12 (D) \( {103}/9 \) (E) 12

问题9。三角形 \( {AFG} \) 的面积为100。点 \( A, B, C, D, E \) 和 \( F \) 按顺序位于 \( {AF} \) 上，将其分成五段等长线段。点 \( G \) 不在直线 \( {AF} \) 上。点 \( H \) 位于 \( {GD} \) 上，点 \( J \) 位于 \( {GF} \) 上。线段 \( {HC},{JE} \) 和 \( {AG} \) 平行。求三角形 \( {JEF} \) 的面积与三角形 \( {CDH} \) 的面积之比。

(A) \( \frac{3}{5} \) (B) \( \frac{9}{25} \) (C) \( \frac{2}{5} \) (D) \( \frac{4}{25} \) (E) \( \frac{1}{2} \)

问题10。 \( {ABCD} \) 是一个矩形， \( {AB} = {10} \) ，且以 \( {AB} \) 为底构造 \( {BC} = 6.{\Delta AEB} \) ，如图所示。 \( {AE} \) 与 \( {DC} \) 相交于点 \( F \) ， \( {GBE} \) 与 \( {DC} \) 相交于 \( G \) 。若 \( {DF} = 2 \) 且 \( {GC} = 4 \) ，求 \( \bigtriangleup {AEB} \) 的面积。

(A) 60 (B)40(C) 30 (D) 50 (E) 55

问题11。如图所示， \( {CD} \) 是直角 \( {\Delta ABC} \) 的边 \( {AB} \) 上的高。若 \( {AD} : {BD} = \sqrt{3} : 1 \) ，求 \( {AC} : {BC} \) 的值。

(A) \( \sqrt[4]{3} \) (B) \( \frac{7}{3} \) (C) \( \sqrt{3} \) (D) \( \sqrt[3]{3} \) (E) \( \frac{13}{10} \)

问题12。在如图所示的平行四边形 \( {ABCD} \) 中，点 \( E \) 和 \( F \) 将边 \( {AB}.{DF} \) 三等分， \( {DB} \) 分别与 \( {AC} \) 相交于 \( G \) 和 \( H \) 。若 \( {EG} : {GH} : {HQC} = x : y : z \) ，其中 \( x, y \) 和 \( z \) 为正整数，求 \( x + y + z \) 的最小可能值。

(A) 20 (B) 40 (C) 30 (D) 50 (E) 55

问题13。在如图所示的平行四边形 \( {ABCD} \) 中，点 \( E \) 和 \( F \) 分别是边 \( {AB} \) 和 \( {BC} \) 的中点。 \( {AF} \) 与 \( {DE} \) 相交于 \( G \) ，与 \( {BD} \) 相交于 \( H \) 。若 \( {ABCD} \) 的面积为60，求四边形 \( {BHGE} \) 的面积。

问题14。(2012年Mathcounts州级冲刺赛第30题)在如图所示的矩形 \( {ABCD} \) 中，点 \( M \) 是边 \( {BC} \) 的中点，点 \( N \) 位于 \( {CD} \) 上，使得 \( {DN} : {NC} = \) 为1:4。线段 \( {BN} \) 分别与 \( {AM} \) 和 \( {AC} \) 相交于点 \( R \) 和 \( S \) 。若 \( {NS} : {SR} : {RB} = x : y : z \) ，其中 \( x, y \) 和 \( z \) 为正整数，求 \( x + y + z \) 的最小可能值。

问题15。在三角形 \( {ABC},\angle A = 2\angle B,{AB} = 4 \) 中， \( {BC} = 2\sqrt{3} \) 。求 \( {AC} \) 的值。

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (E) 5

问题16. 在梯形 \( {ABCD},{AB} = {3CD} \) 中， \( {AB}//{CD}.E \) 是对角线 \( {AC}.{BE} \) 的中点，与 \( {AD} \) 交于 \( F \) 。求 \( {AF} \) : \( {FD} \) 的值。

(A) \( \frac{5}{3} \) (B) \( \frac{3}{2} \) (C) \( \frac{10}{7} \) (D) (E) \( \frac{12}{5} \) 。

解答:

问题1. 解答:(A)。

如图所示， \( \bigtriangleup {ABC} \) 与 \( \bigtriangleup {BDC} \) 相似。

\[ \frac{AB}{BC} = \frac{BC}{DC}\; \Rightarrow \;\frac{12}{5} = \frac{5}{DC} \]

\[ {DC} = \frac{25}{12}\text{.} \]

问题2. 解答:(A)。

\( {\Delta AOB} \sim {\Delta COM}\left( {{AB}\parallel {MC}}\right) .M \) 是 \( {CD}.\frac{OC}{OA} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) 的中点。

问题3. 解答:(B)。

首先注意到这是一个直角三角形，因此两条高就是两条直角边，长度分别为8和15。第三条高，长度为 \( x \) ，是画到斜边上的高。

我们将两个相似三角形分开如下:

问题4. 解答: \( \frac{1225}{72} \) 。

设矩形的宽为 \( x \) ，长为 \( y \) 。

由于 \( {BC}//{EG},{\Delta FBC} \sim {\Delta FEC}.\frac{BC}{EG} = \frac{FG}{FH} \)

\[ \Rightarrow \;\frac{2x}{10} = \frac{7 - x}{7} \]

\[ \Rightarrow {14x} = {10}\left( {7 - x}\right) \Rightarrow {14x} = {70} - {10x} \]

\[ \Rightarrow x = \frac{35}{12}\text{.} \]

矩形 \( {ABCD} \) 的面积为 \( {S}_{ABCD} = x \times \left( {2x}\right) = \frac{35}{12} \times \left( {2 \times \frac{35}{12}}\right) = \frac{1225}{72} \) 。

问题5. 解答:(D)。

我们知道 \( \bigtriangleup {ABE} \sim \bigtriangleup {FCD}.\frac{AB}{CF} = \frac{EB}{CD} \Rightarrow \frac{28}{x} = \frac{x}{58} \Rightarrow {x}^{2} = {28} \times {58} = {1624} \) 。

问题6。解答:(A)。

由于 \( \bigtriangleup {AED} \) 与 \( \bigtriangleup {BEC} \) 面积相等， \( {AB}//{CD} \) 。

\( {ABCD} \) 是一个梯形。 \( \bigtriangleup {ABE} \sim \bigtriangleup {CDE} \) 。

\( \frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE} = \frac{AE}{{AC} - {AE}}\; \Rightarrow \)

\[ \frac{9}{12} = \frac{AE}{{14} - {AE}} \Rightarrow \;{AE} = 6. \]

问题7。解答:(B)。

方法1(官方解答)

由于 \( {AD}//{BC},{\Delta FDE} \sim {\Delta BCE} \) 。因此

\[ \frac{FD}{BC} = \frac{DE}{CE}\; \Rightarrow \;{FD} = \frac{DE}{CE} \cdot {BC} = \frac{4}{4 + {16}} \cdot {10} = 2. \]

方法2(我们的解答):

由于 \( {AB}//{ED},\bigtriangleup {ABF} \sim \bigtriangleup {DEF} \) 。

将定理1应用于 \( \bigtriangleup {ABF} \) 和 \( \bigtriangleup {DEF} \) :

\[ \frac{AB}{ED} = \frac{AF}{FD}\; \Rightarrow \;\frac{16}{4} = \frac{{10} - {FD}}{FD} \Rightarrow \]

问题8。解答:(C)。

方法1(官方解答):

注意 \( {DB} = 5 \) 、 \( {\Delta EBA},{\Delta DBC} \) 以及 \( {\Delta BFC} \) 均相似。

因此 \( 4/{EB} = 3/5 \) ，所以 \( {EB} = {20}/3 \) 。同理， \( 3/{BF} \)

\[ = 4/5\text{, so}{BF} = {15}/4\text{.} \]

于是 \( {EF} = {EB} + {BF} = {20}/3 + {15}/4 = {125}/{12} \) 。

方法2(我们的解答):

\[ \bigtriangleup {DBA} \sim \bigtriangleup {BEA}.\frac{DB}{EB} = \frac{AD}{AB} \Rightarrow \frac{5}{EB} = \frac{3}{4} \]

\[ \Rightarrow {EB} = \frac{20}{3}\text{.} \]

\[ \bigtriangleup {DBA} \sim \bigtriangleup {FBC}.\frac{BC}{AB} = \frac{BF}{BD} \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{BF}{5} \]

\[ \Rightarrow {BF} = \frac{15}{4}\text{.} \]

\[ {EF} = {EB} + {BF} = \frac{20}{3} + \frac{15}{4} = \frac{125}{12}. \]

问题9。解答:(B)。

由于 \( \bigtriangleup {AGD} \) 与 \( \bigtriangleup {CHD} \) 相似，我们有

\[ \frac{HC}{AG} = \frac{1}{3} \tag{1} \]

\[ \frac{{S}_{\bigtriangleup {CDH}}}{{S}_{\bigtriangleup {AGC}}} = {\left( \frac{HC}{AG}\right) }^{2} \tag{2} \]

同样， \( \bigtriangleup {AGF} \) 与 \( \bigtriangleup {EJF} \) 相似，所以

\[ \frac{JE}{AG} = \frac{1}{5} \tag{3} \]

\( \frac{{S}_{\Delta EFJ}}{{S}_{\Delta AGC}} = {\left( \frac{JE}{AG}\right) }^{2} \) (4)

(3) \( \div \left( 1\right) : \frac{JE}{HC} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{5} \) (5)

(4) \( \div \left( 2\right) : \frac{{S}_{\Delta EFJ}}{{S}_{\Delta CDH}} = \frac{{\left( \frac{JE}{AG}\right) }^{2}}{{\left( \frac{HC}{AG}\right) }^{2}} = {\left( \frac{JE}{HC}\right) }^{2} \) (6)

将(5)代入(6)得: \( \frac{{S}_{\Delta EFJ}}{{S}_{\Delta CDH}} = {\left( \frac{3}{5}\right) }^{2} = \frac{9}{25} \) 。

问题10。解答:(D)。

设 \( H \) 为从 \( E \) 到 \( {DC} \) 的垂足。由于 \( {CD} = {AB} = {10} \) ，可得 \( {FG} = 4 \) 。因为 \( {\Delta FEG} \) 与 \( \bigtriangleup {AEB} \) 相似，我们有 \( \frac{EH}{{EH} + 6} = \frac{4}{10} \) ，所以 \( {5EH} = {2EH} + {12} \) ，且 \( {EH} = 4 \) 。

\( \bigtriangleup {AEB} \) 的面积为 \( \left( \frac{1}{2}\right) \left( {4 + 6}\right) \cdot {10} = {50} \) 。

问题11。解答:(A)

由(10.3)和(10.4)得:

\( A{C}^{2} = {AB} \times {AD} \) (1)

\( B{C}^{2} = {AB} \times {BD} \) (2)

(1) \( \div \left( 2\right) : \frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}} = \frac{{AB} \times {AD}}{{AB} \times {BD}} = \frac{AD}{BD} = \sqrt{3} \) \( \Rightarrow \frac{AC}{BC} = \sqrt[4]{3} \) .

问题12。解答:(A)。

设 \( {AB} = {CD} = {3a},{AE} = {EF} = {FB} = a \) 。

\( \bigtriangleup {EBH} \sim \bigtriangleup {CDH},\frac{DC}{EB} = \frac{CH}{EH} = \frac{3}{2}\; \Rightarrow \)

\[ \frac{z}{x + y} = \frac{3}{2} \Rightarrow {2z} = {3x} + {3y} \tag{1} \]

\[ \bigtriangleup {EFG} \sim \bigtriangleup {CDG},\frac{DC}{EF} = \frac{CG}{GE} = \frac{3}{1}\; \Rightarrow \]

\[ \frac{z + y}{x} = \frac{3}{1} \Rightarrow {3x} = z + y \tag{2} \]

解方程组(1)和(2)得: \( \frac{x}{z} = \frac{5}{12} \) ，且 \( \frac{y}{z} = \frac{3}{12} \) 。

于是 \( x : y : z = 5 : 3 : {12} \) 。 \( x + y + z \) 的最小值为 \( 5 + 3 + {12} = {20} \) 。

问题13。解答:(D)。

延长 \( {AF} \) 和 \( {DC} \) 交于 \( M \) 。

\( {MC} = {AB} = {CD}.{AF} = {FM}. \)

三角形 \( {ABH} \) 与三角形 \( {MDH} \) 相似。

\[ \frac{AH}{HM} = \frac{AB}{DM} = \frac{1}{2} \]

于是 \( \frac{AH}{HM} = \frac{1}{3} \) ，且 \( \frac{AH}{AF} = \frac{2}{3} \) 。

\[ {S}_{\bigtriangleup {ABH}} = \frac{2}{3}{S}_{\bigtriangleup {ABF}} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}{S}_{ABCD} = {10} \]

三角形 \( {AEG} \) 与三角形 \( {MDG} \) 相似。

\( \frac{EG}{DG} = \frac{AE}{MD} = \frac{1}{4} \) 。因此 \( \frac{EG}{ED} = \frac{1}{5} \) 。

\[ {S}_{\Delta AEG} = \frac{1}{5}{S}_{\Delta 4DE} = \frac{1}{5} \times \frac{1}{4}{S}_{ABCD} = 3. \]

因此 \( {S}_{BHGE} = {S}_{\Delta 4BH} - {S}_{\Delta 4EG} = {10} - 3 = 7 \) 。

问题14。答案:126。

方法1(官方解答):

矩形 \( {ABCD} \) 的点 \( M \) 是边 \( {BC} \) 的中点，点 \( N \) 位于 \( {CD} \) 上，使得 \( {DN} : {NC} = 1 : 4 \) 。线段 \( \mathrm{{BN}} \) 与 \( {AM} \) 和 \( {AC} \) 分别交于点 \( R \) 和 \( S \) 。若 \( {NS} : {SR} : {RB} = \) \( x : y : z \) ，则 \( x + y + z \) 的最小可能值是多少？设 \( {AB} = {5n} \) ，则 \( \mathrm{{NC}} = {4n} \) 。由于 \( \angle {BAS} = \angle \) \( {NCS} \) 且 \( \angle {ASB} = \angle {CSN} \) ，可知 \( \bigtriangleup {ABS} \sim \bigtriangleup {CNS} \) 。这意味着 \( {BS} : {NS} = 5 : 4 \) 。因此 \( {NS} = \left( {4/9}\right) {BN} \) 且 \( {BS} = \) \( \left( {5/9}\right) {BN} \) 。若将线段 \( {AM} \) 自点 \( M \) 向外延长，并将线段 \( {DC} \) 自点 \( C \) 向外延长，两线段将交于点 \( P \) ，如图所示。

此时 \( \bigtriangleup {ABM} \cong \bigtriangleup {PCM} \) ，故 \( {CP} = {AB} = {5n} \) 且 \( {NP} = {4n} + {5n} = {9n} \) 。又 \( \bigtriangleup {ABR} \sim \) \( {\Delta PNR} \) 且 \( {AB} : {PN} = 5 : 9 = {BR} : {RN} \) 。因此 \( {BR} = \left( {5/{14}}\right) {BN} \) 且 \( {RN} = \left( {9/{14}}\right) {BN} \) 。于是 \( {SR} = {BS} - {BR} = \left\lbrack {\left( {5/9}\right) - \left( {5/{14}}\right) }\right\rbrack {BN} = \left( {{25}/{126}}\right) {BN} \) 。至此，我们已用 \( {BN} \) 表示出所有三条线段，即 \( {NS} : {SR} : {RB} = \)

(4/9):(25/126):(5/14) \( = \left( {{56}/{126}}\right) : \left( {{25}/{126}}\right) : \left( {{45}/{126}}\right) = {56} : {25} : {45} \) 。最小和为 \( {56} + {25} + {45} = {126} \) 。

方法2(我们的解法):

延长 \( {BN} \) 和 \( {AD} \) 交于 \( E \) 。已知 \( {DN} = \frac{1}{4}{NC} \) 。于是

\( {EN} = \frac{1}{4}{NB} = \frac{1}{4}\left( {x + y + z}\right) \) ，且 \( {DE} = \frac{1}{4}{BC} \cdot {\Delta AES} \sim {\Delta CBS},{\Delta AER} \sim {\Delta CBR} \) 。

\[ \frac{{AD} + {DE}}{BC} = \frac{{EN} + x}{y + z}\; \Rightarrow \;\frac{{BC} + \frac{1}{4}{BC}}{BC} = \frac{\frac{1}{4}\left( {x + y + z}\right) + x}{y + z} \]

\[ \Rightarrow \;\frac{5}{4} = \frac{\frac{1}{4}\left( {x + y + z}\right) + x}{y + z} \Rightarrow \;5\left( {y + z}\right) = x + y + z + {4x} \Rightarrow \]

\[ {5y} + {5z} = {5x} + y + z\; \Rightarrow \;{4y} + {4z} = {5x} \tag{1} \]

\[ \frac{{AD} + {DE}}{\frac{1}{2}{BC}} = \frac{{EN} + x + y}{z}\; \Rightarrow \;\frac{5}{2} = \frac{\frac{1}{4}\left( {x + y + z}\right) + x + y}{z} \Rightarrow \]

\[ {10z} = x + y + z + 4\left( {x + y}\right) \; \Rightarrow \;{9z} = {5x} + {5y} \tag{2} \]

将(1)代入(2)得: \( {9z} = {4y} + {4z} + {5y} \Rightarrow \;{5z} = {9y} \Rightarrow \;\frac{y}{z} = \frac{5}{9} \) (3)

将(3)代入(2): \( 9 \times \frac{9}{5}y = {5x} + {5y} \Rightarrow 9 \times \frac{9}{5}y - {5y} = {5x} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{56}{25} \) 。

于是 \( x : y : z = {56} : {25} : {45} \) 。 \( x + y + z \) 的最小值为 \( {56} + {25} + {45} = {126} \) 。

方法3(我们的解法):

作 \( {ME}//{NC} \) 交 \( {NB} \) 于 \( E.{\Delta ABS} \sim {\Delta CNS},{\Delta ABR} \sim {\Delta MER} \) 。因为 \( {DN} : {NC} \)

\( = 1 : 4,{NC} = \frac{4}{5}{AB} \) 。所以 \( {EM} = \frac{1}{2}{NC} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}{AB} = \frac{2}{5}{AB} \) 。

所以 \( {BE} = {EN} = \frac{x + y + z}{2} \) ，且 \( {ER} = {EB} - {RB} = \frac{x + y + z}{2} - z = \frac{x + y - z}{2} \) 。

\[ \frac{AB}{NC} = \frac{BS}{NS} = \frac{5}{4}\; \Rightarrow \;\frac{y + z}{x} = \frac{5}{4}\; \Rightarrow \;{5x} = {4y} + {4z} \tag{1} \]

\[ \frac{AB}{EM} = \frac{BR}{ER} = \frac{5}{2}\; \Rightarrow \;\frac{z}{\frac{x + y - z}{2}} = \frac{5}{2}\; \Rightarrow \]

\[ {4z} = {5x} + {5y} - {5z}\; \Rightarrow \;{5x} + {5y} = {9z} \tag{2} \]

解方程组(1)和(2): \( \frac{x}{y} = \frac{56}{25} \) ，且 \( \frac{y}{z} = \frac{5}{9} \) 。

因此 \( x : y : z = {56} : {25} : {45} \) 。 \( x + y + z \) 的最小值为 \( {56} + {25} + {45} = {126} \) 。问题15。解答:(A)。方法1:我们有: \( {a}^{2} = {b}^{2} + {bc}\; \Rightarrow \;{\left( 2\sqrt{3}\right) }^{2} = {x}^{2} + {4x} \) \( \Rightarrow {x}^{2} + {4x} - {12} = 0\; \Rightarrow \;\left( {x + 6}\right) \left( {x - 2}\right) = 0 \) \( {x}_{1} = 2 \) 且 \( {x}_{2} = - 6 \) 答案为 \( x = 2 \) 。方法2: